Question

已知函數(shù)f（x）=klnx+（k-1）x．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在最大值M，且M＞0，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關系對k的大小進行分類討論，進而確定函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的增減區(qū)間確定函數(shù)的最大值，從而解出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由題意得，
當k≤0時，由x＞0知恒成立，
此時f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
當k≥1時，由x＞0知恒成立，
此時f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
當0＜k＜1時，由f′（x）＞0，
得，
由f′（x）＜0，
解得，
此時f（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且
當k≤0或k≥1時，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)，
此時函數(shù)f（x）無最大值，
又當0＜k＜1時，f（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當0＜k＜1時函數(shù)f（x）有最大值，
因為M＞0，所以有，
解得，
因此k的取值范圍是（e為自然對數(shù)的底）．
點評：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運算能力．