Question

2．已知數列{a_n}滿足a₂=$\frac{7}{2}$，且a_n+1=3a_n-1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式以及數列{a_n}的前n項和S_n的表達式；
（2）若不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m對?n∈N^*恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-1（n∈N^*），可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m，化為：$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$≤m，由于$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{n+1}-1}）$單調遞減，即可得出m的求值范圍．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n-1（n∈N^*），∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），
∴數列$\{{a}_{n}-\frac{1}{2}\}$是等比數列，首項為3，公比為3．
∴a_n-$\frac{1}{2}$=3×3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{2}$+3ⁿ，
∴S_n=$\frac{n}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{n+{3}^{n+1}-3}{2}$．
（2）不等式$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤m，化為：$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$≤m，
∵$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{n+1}-1}）$單調遞減，
∴m≥$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{3}^{2}-1}）$=$\frac{1}{2}$．
∴實數m的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．