Question

自然數(shù)1，2，3，…，n按一定的順序排成一個數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，若滿足|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|≤4，則稱數(shù)列a₁，a₂，…，a_n是一個“優(yōu)數(shù)列”，當(dāng)n=6時，“優(yōu)數(shù)列”共有（　　）

A．24

B．23

C．18

D．16

Answer 1

分析：利用新定義，先確定優(yōu)數(shù)列的和只能取0、2、4，再分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意，|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-6|≤4，通過分析可知，當(dāng)1到6分別對應(yīng)a₁至a₆時和，取得最小值0．
任意改變其中兩個數(shù)a_i=i、a_j=j的位置，則有|a_i-j|+|a_j-i|=2|i-j|
表明一旦改變，和的變化必然是以2為單位，不可能有1、3、5…這樣的和出現(xiàn)，
所以，優(yōu)數(shù)列的和只能取0、2、4．
①當(dāng)和為0時，只有上面提到的1種情況；
②當(dāng)和為2時，只能是改變相鄰位置的兩個數(shù)而得，否則和2|i-j|必然大于2，共有5種情況；
③當(dāng)和為4時，需要分類討論：
  1°．改變的是相隔1個數(shù)的兩個數(shù)的情況，也就是i-1和i+1互換位置，有4種情況；
  2°．改變的是三個數(shù)輪換的情況，只能是i-1，i，i+1輪換位置，有8種情況
綜合上述，優(yōu)數(shù)列共有1+5+4+8=18種情況  
故選C

點評：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．