Question

（2013•閘北區一模）設雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右頂點為A，右焦點為F．過點F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點B，則△AFB的面積為

10

3

．

Answer 1

分析：由雙曲線的方程可得a、b的值，進而可得c的值，得到A、F兩點的坐標．因此可得設BF的方程為y=±

4

3

（x-5），與雙曲線的漸近方程聯解得到點B的坐標，即可算出△AFB的面積，得到本題答案．

解答：解：根據題意，得a²=9，b²=16，
∴c=

a2+b2

=5，且A（3，0），F（5，0），
∵雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的漸近線方程為y=±

4

3

x
∴直線BF的方程為y=±

4

3

（x-5），
①若直線BF的方程為y=

4

3

（x-5），與漸近線y=-

4

3

x交于點B（

5

2

，-

10

3

）
此時S_△AFB=

1

2

|AF|•|y_B|=

1

2

•2•

10

3

=

10

3

；
②若直線BF的方程為y=-

4

3

（x-5），與漸近線y=

4

3

x交點B（

5

2

，

10

3

）
此時S_△AFB=

1

2

|AF|•|y_B|=

1

2

•2•

10

3

=

10

3

．
因此，△AFB的面積為

10

3

故答案為：

10

3

點評：本題給出雙曲線右頂點為A，過右焦點F與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于B，求△ABF的面積，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質的知識，屬于中檔題．