Question

（2010•唐山三模）已知△ABC的三個內角A、B、C滿足sinC=

3

（1-cosC）=2sin2A+sin（A-B）．求A的大小．

Answer 1

分析：根據sinC=

3

（1-cosC），移向得出sinC+

3

cosC=

3

，化為一個角的一種三角函數得出2sin（C+

π

3

）=

3

后，C可求出．
再由sinC=2sin2A+sin（A-B），將sinC代換為sin（A+B），繼而結合C的值，消去B化成關于A的三角方程，求解即可．

解答：解：由sinC=

3

（1-cosC），得sinC+

3

cosC=

3

，即2sin（C+

π

3

）=

3

∴sin（C+

π

3

）=

3

2

，∵

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

，∴C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

 ①．
又sinC=2sin2A+sin（A-B），而sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
∴得出sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosA+sinAcosB-cosAsinB
 移向化簡整理得出cosA（sinB-2sinA）=0
∴cosA=0，或sinB-2sinA=0
若 cosA=0，則A=

π

2

，
若 sinB-2sinA=0則結合①即有sin（

2π

3

-A）-2sinA=0，
展開化簡整理

3

2

cosA-

3

2

sinA=0，∴tanA=

3

3

，∴A=

π

6

綜上A=

π

2

，或A=

π

6

．

點評：本題考查三角函數式的恒等變形，化簡求值，用到了兩角和與差的三角函數公式，消元的思想方法．