Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，AB=2，D是A₁B₁的中點，E在線段CC₁上且C₁E=2．
（1）證明：DC⊥面ABE；
（2）求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）以O為坐標原點OB、OC、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標系，由已知中ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=3，C₁E=2，我們分別求出向量

DC

，

AB

，

AE

的坐標，根據

DC

•

AB

=0

DC

•

AE

=0，得到DC⊥AB、DC⊥AE，進而由線面垂直的判定定理得到答案．
（2）分別求出平面ABE與平面ADE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角D-AE-B的余弦值，進而得到二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（1）證明：已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，取AC中點O、A₁C₁中點F，連OF、OB，則OB、OC、OF兩兩垂直，
以OB、OC、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標系．如圖所示．
∵AB=2，AA₁=3，C₁E=2
∴A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，E（0，1，1），C（0，1，0），D(

3

2

，-

1

2

，3)
∴

DC

=(-

3

2

，

3

2

，-3)，

AB

=(

3

，1，0)，

AE

=(0，2，1)
∴

DC

•

AB

=0，

DC

•

AE

=0
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB與AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得

DC

=(-

3

2

，

3

2

，-3)為平面ABE的一個法向量
設

m

=（x，y，z）為平面ADE的一個法向量
則

m • AE =0 m • AD =0

，
即

2y+z=0 3 2 x+ 1 2 y+3z=0

令y=1，則

m

=（

11 3

3

，1，-2）
令二面角D-AE-B的平面角為θ
則cosθ=

34

68

∴二面角D-AE-B的大小θ=arccos

34

68

（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，將直線與平面的垂直問題，二面角問題，轉化為空間向量夾角問題是解答本題的關鍵．