Question

（2009•寧波模擬）設實數a＞0，b＞0，且滿足a+b=1．
（1）求alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）設

1

3

＜a＜b，求證：（9a）^b＞（9b）^a．

Answer 1

分析：（1）b=1-a代入所求關系式alog₂a+blog₂b，可得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），再令f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），通過f′（x）即可求得f（x）_min，即alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）可先通過分析法得到：要證（9a）^b＞（9b）^a，即證

ln(9a)

a

＞

ln(9b)

b

，由

1

3

＜a＜b＜

2

3

，再構造函數g（x）=

ln(9x)

x

，x∈（

1

3

，

2

3

），通過g′（x）分析出g（x）在(

1

3

，

2

3

)上單調遞減，從而得證結論．

解答：解：（1）b=1-a代入得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），
設f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），（1分）
則f'（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log₂x-log₂（1-x）；（3分）
令f'（x）＞0解得x＞

1

2

，
∴f（x）在(0，

1

2

)上單調遞減，在(

1

2

，1)上單調遞增．        （5分）
∴x=

1

2

，f(x)min=-1即原式的最小值為-1．（7分）
（2）要證（9a）^b＞（9b）^a，即證ln（9a）^b＞ln（9b）^a
即證bln（9a）＞aln（9b），
∵a＞0，b＞0，
即證

ln(9a)

a

＞

ln(9b)

b

，（9分）
由已知

1

3

＜a＜b＜

2

3

設g(x)=

ln(9x)

x

，x∈(

1

3

，

2

3

)（10分）
則g′(x)=

1-ln(9x)

x2

，（11分）
∵

1

3

＜x＜

2

3

，因此3＜9x＜6，
∴1＜ln3＜ln（9x）＜ln6
∴g'（x）＜0（13分）
所以g（x）在(

1

3

，

2

3

)上單調遞減，
∴g（a）＞g（b），原不等式得證．                                   （14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，難點在于解題突破口的選擇--構造函數，著重考查導數在研究函數性質方面的工具作用，屬于難題．