Question

20、甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．
（Ⅰ）求再賽2局結束這次比賽的概率；
（Ⅱ）求甲獲得這次比賽勝利的概率．

Answer 1

分析：根據題意，記“第i局甲獲勝”為事件A_i（i=3，4，5），“第j局甲獲勝”為事件B_i（j=3，4，5），
（1）“再賽2局結束這次比賽”包含“甲連勝3、4局”與“乙連勝3、4局”兩個互斥的事件，而每局比賽之間是相互獨立的，進而計算可得答案，
（2）若“甲獲得這次比賽勝利”，即甲在后3局中，甲勝2局，包括3種情況，根據概率的計算方法，計算可得答案．

解答：解：記“第i局甲獲勝”為事件A_i（i=3，4，5），
“第j局甲獲勝”為事件B_i（j=3，4，5）．
（Ⅰ）設“再賽2局結束這次比賽”為事件A，則A=A₃•A₄+B₃•B₄，
由于各局比賽結果相互獨立，
故P（A）=P（A₃•A₄+B₃•B₄）=P（A₃•A₄）+P（B₃•B₄）=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（B₄）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．
（Ⅱ）記“甲獲得這次比賽勝利”為事件B，
因前兩局中，甲、乙各勝1局，
故甲獲得這次比賽勝利當且僅當在后面的比賽中，
甲先勝2局，從而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，
由于各局比賽結果相互獨立，
故P（B）=P（A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅）
=P（A₃•A₄）+P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（A₄）P（A₅）+P（A₃）P（B₄）P（A₅）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648

點評：本小題考查互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率，解題之前，要分析明確事件間的關系，一般先按互斥事件分情況，再由相互獨立事件的概率公式，進行計算．