Question

(本小題滿分15分)

已知以點為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點。

（Ⅰ）求證：△AOB的面積為定值；

（Ⅱ）設直線2x+y－4=0與圓C交于點M、N，若，求圓C的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設P、Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C的動點，求的最小值及此時點P的坐標。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）為定值。

（Ⅱ）圓C的方程為 

（Ⅲ）的最小值為，直線的方程為，則直線與直線x+y+2=0的交點P的坐標為

【解析】解：(Ⅰ)由題設知，圓C的方程為，化簡得，當y=0時，x=0或2t，則；當x=0時，y=0或，則，

∴為定值。   ……………5分

（II）∵，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率，∴t=2或t=－2

∴圓心C(2，1)或C(－2，－1)∴圓C的方程為或，由于當圓方程為時，直線2x+y－4=0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去。

∴圓C的方程為                 ……………10分

（Ⅲ）點B(0，2)關于直線x+y+2=0的對稱點為 ，則，又到圓上點Q的最短距離為。

所以的最小值為，直線的方程為，則直線與直線x+y+2=0的交點P的坐標為               ……………15分