Question

二次函數f（x）滿足f（-2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值是8．
（1）求f（x）；
（2）求不等式f（x）＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73（m∈R）的解集．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的性質即可求出；
（2）通過對m分類討論即可求出一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（x）滿足f（-2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值是8．
∴

a＜0 4a-2b+c=-1 a-b+c=-1 4ac-b2 4a =8

，解得

a=-36 b=-108 c=-73

，
∴f（x）=-36x²-108x-73．
（2）由（1）知不等式f（x）＞2m²-35x²-（108+3m）x-73（m∈R）等價于
-36x²-108x-73＞-35x²-（108+3m）x-73+2m²，
化為x²-3mx+2m²＜0，
∴（x-m）（x-2m）＜0，
當m=0時，所求不等式的解集為空集；
當m＞0時，所求不等式的解集為{x|m＜x＜2m}；
當m＜0時，所求不等式的解集為{x|2m＜x＜m}．

點評：熟練掌握二次函數的性質和分類討論的方法解一元二次不等式是解題的關鍵．