Question

（2012•肇慶一模）如果實數x，y滿足等式（x-2）²+y²=1，那么

y+3

x-1

的取值范圍是

[

4

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：設k=

y+3

x-1

，則y=kx-（k+3）表示經過點P（1，-3）的直線，k為直線的斜率，所以求

y+3

x-1

的取值范圍就等價于求同時經過點P（1，-3）和圓上的點的直線中斜率的最大最小值，當過P直線與圓相切時，如圖所示，直線PA與直線PB與圓相切，此時直線PB斜率不存在，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線PA的距離d，令d=r求出此時k的值，確定出t的范圍，即為所求式子的范圍．

解答：解：設k=

y+3

x-1

，則y=kx-（k+3）表示經過點P（1，-3）的直線，k為直線的斜率，
∴求

y+3

x-1

的取值范圍就等價于求同時經過點P（1，-3）和圓上的點的直線中斜率的最大最小值，
從圖中可知，當過P的直線與圓相切時斜率取最大最小值，此時對應的直線斜率分別為k_PB和k_PA，
其中k_PB不存在，
由圓心C（2，0）到直線y=kx-（k+3）的距離

|2k-(k+3)|

k2+1

=r=1，
解得：k=

4

3

，
則

y+3

x-1

的取值范圍是[

4

3

，+∞）．
故答案為：[

4

3

，+∞）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由d與r來判斷：當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．熟練掌握數形結合思想是解本題的關鍵．