Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R），有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
②當x＞0時，f（x）是增函數(shù)，當x＜0時，f（x）是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值是lg2；
④當-1＜x＜0或x＞1時，f（x）為增函數(shù)；
⑤f（x）無最大值，也無最小值．
其中正確命題的序號是

 

Answer 1

分析：①判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可．
②將復合函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
③因為t=x+

1

x

≥2（x＞0），再由偶函數(shù)，可知正確．
④當-1＜x＜0或x＞1時函數(shù)t=x+

1

x

是增函數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)判斷．
⑤用③來判斷．

解答：解：①定義域為R，又滿足f（-x）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，正確．
②令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，不正確．
③t=x+

1

x

≥2，又是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值是lg2，正確．
④當-1＜x＜0或x＞1時函數(shù)t=x+

1

x

是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)知，f（x）是增函數(shù)，正確．
⑤由③知，不正確．
故答案為：①③④

點評：本題通過多個問題來考查函數(shù)復合函數(shù)的研究方法，涉及了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值等，知識點，方法靈活，要細心耐心．