【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：
的焦點為F，過F的直線
交拋物線C于A，B兩點．
（1）求線段AF的中點M的軌跡方程；
（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）設線段AF的中點的坐標為
，
，即可求得
，將它們代入
即可得解。
（2）設
，由△AOB的面積是△BOF面積的3倍可得：直線
的斜率存在，且
的面積是
面積的2倍，即可整理得：
，設直線的方程為：
，聯立直線方程與拋物線方程可得：
，
，結合即可求得：
，問題得解。
（1）設線段AF的中點的坐標為，
由拋物線
的方程可得：焦點
由中點坐標公式可得：
即：
又在拋物線上，所以
，
將代入上式可得：
整理得：
所以線段AF的中點M的軌跡方程為：
（2）依據題意作出圖形，如下：
設，且
與
的取值一正、一負
因為△AOB的面積是△BOF面積的3倍，所以直線的斜率存在，
且的面積是面積的2倍，
即：
，整理得：
設直線的方程為：
聯立直線與拋物線方程可得：
，整理得：
.
所以，
由
解得：.
所以直線的方程為：
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【題目】如圖所示的矩形ABCD中，AB=
AD=2，點E為AD邊上異于A，D兩點的動點，且EF//AB，G為線段ED的中點，現沿EF將四邊形CDEF折起，使得AE與CF的夾角為60°，連接BD，FD．
(1)探究：在線段EF上是否存在一點M，使得GM//平面BDF，若存在，說明點M的位置，若不存在，請說明理由；
(2)求三棱錐G—BDF的體積的最大值，并計算此時DE的長度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，其左、右頂點分別為點
，且點
關于直線
對稱的點在直線
上.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若點
在橢圓上，點
在圓
上，且
都在第一象限，
軸，若直線
與
軸的交點分別為
，判斷
是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.
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【題目】在直角坐標系平面
上的一列點
，
，…，
，記為
，若由
構成的數列
滿足
，
，其中
為與
軸正方向相同的單位向量，則稱為
點列.
（1）判斷
，
，
，…，
，是否為點列，并說明理由；
（2）若為點列.且點
在點
的右上方，（即
）任取其中連續三點
，
，
判斷
的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并給予證明；
（3）若為點列，正整數
，滿足
.求證：
.
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右準線方程為x＝4．過點A1的直線交橢圓C于x軸上方的點P，交橢圓C的右準線于點D．直線A2D與橢圓C的另一交點為G，直線OG與直線A1D交于點H．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若HG⊥A1D，試求直線A1D的方程；
（3）如果
，試求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子里有大小相同的3個紅球和3個黑球，從盒子里隨機取球，取到每個球的可能性是相同的，設取到一個紅球得1分，取到一個黑球得0分.
（Ⅰ）若從盒子里一次隨機取出了3個球，求得2分的概率;
（Ⅱ）著從盒子里每次摸出一個球，看清顏色后放回，連續摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
為正方形，
平面，
，
，
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求
與平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使得平面
平面？如果存在，求
的值；如果不存在，說明理由．
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