Question

給出下列命題：
①既是奇函數，又是偶函數；
②f（x）=x和為同一函數；
③已知f（x）為定義在R上的奇函數，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
④函數的值域為．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：由函數的解析式分析出函數的定義域，進而得到函數的圖象，結合奇偶函數圖象的對稱性，可判斷①的真假；
根據兩個函數的定義域不一致，結合同函數的定義，可判斷②的真假；
舉出反例f（x）=，結合反比例函數的單調性，可以判斷③的真假；
將函數解析式變形為=，結合基本不等式，分類討論函數的值域，綜合討論結果可判斷④的真假．
解答：解：函數的定義域為{-2，2}，其圖象是點（-2，0）和（2，0），即關于原點對稱也關于y軸對稱，故f（x）既是奇函數，又是偶函數，即①正確；
f（x）=x的定義域為R，的定義域為{x|x≠0}，故兩者不為同一函數，故②錯誤；
已知f（x）=為定義在R上的奇函數，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，但函數在（-∞，+∞）上不為增函數，故③錯誤；
④函數=
當x＞0時，，則y∈（0，]
當x=0時，則y=0
當x＜0時，，則y[-，0）
綜上，函數的值域為，故④正確．
故答案為：①④
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性，同一函數的定義，函數的單調性，函數的值域等，其中④函數值域的求解難度稍大，要注意基本不等式的應用．