Question

隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來(lái)越受到市民重視，為此成都市建立了公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共自行車(chē)服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車(chē)卡借車(chē)，初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20分，當(dāng)積分為0時(shí)，借車(chē)卡將自動(dòng)鎖定，限制借車(chē)，用戶應(yīng)持卡到公共自行車(chē)服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車(chē)出行，同時(shí)督促市民盡快還車(chē)，方便更多的市民使用，公共自行車(chē)按每車(chē)每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分收費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：
①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；
⑦租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)，扣1分；
③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)，扣2分；
④租用時(shí)間超過(guò)3小時(shí)，按每小時(shí)扣2 分收費(fèi)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．
甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車(chē)一次，兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.5和0.6；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.4和0.2．
（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）分別記“甲扣0、1、2分”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥，分別記“乙扣0、1、2分”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，由題知，A₁，A₂，A₃與B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，記甲、乙兩人所扣積分相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，從而可求概率；
（2）ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得下表，其中t表示租用時(shí)間（單位：小時(shí)）：

	0＜t≤1扣0分	1＜t≤2扣1分	2＜t≤3扣2分
甲	0.5	0.4	0.1
乙	0.6	0.2	0.2

分別記“甲扣0、1、2分”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥，且P（A₁）=0.5，P（A₂）=0.4，P（A₃）=0.1
分別記“乙扣0、1、2分”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，且P（B₁）=0.6，P（B₂）=0.2，P（B₃）=0.2
由題知，A₁，A₂，A₃與B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，…（2分）
記甲、乙兩人所扣積分相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃
所以P（M）=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…（4分）
（2）ξ的可能取值為：0，1，2，3，4…（5分）
P（ξ-0）=0.5×0.6=0.3，P（ξ=1）=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34，P（ξ=2）=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24，
P（ξ=3）=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1，P（ξ=4）=0.1×0.2=0.02…（8分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.3	0.34	0.24	0.1	0.02

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…（11分）
答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.4，ξ的數(shù)學(xué)期望為1.2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．