Question

【題目】已知函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程在區間上恰有一個實數解，求的取值范圍；

（3）設，若存在使得函數在區間上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據對數函數單調性解不等式，轉化為解分式不等式；

（2）將問題轉化為在區間上恰有一個實數解，轉化為方程的根的問題；

（3）根據函數的單調性求出最值，根據不等式有解分離參數求取值范圍.

（1）當時，，，

即，，，與同解，

得；

（2）由題意：關于x的方程在區間上恰有一個實數解，

，

，

在區間上恰有一個實數解，

即，解得：，

且，即，

綜上所述：；

（3）由題：，，函數在區間上單調遞減，

最大值和最小值的差不超過1，即

，

所以

即存在使成立，只需即可，

考慮函數，，令，

，

根據勾型函數性質在單調遞減，

所以在單調遞減，所以，

所以.