Question

（2012•江西模擬）已知數列{an}滿足a1=-

6

7

，1+a1+a2+…+an-λan+1=0(λ≠0，λ≠-1，n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）當λ=

1

3

時，數列{a_n}中是否存在三項成等差數列，若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，則1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，故（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，所以an+2=

1+λ

λ

an+1，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由λ=

1

3

，知an=

- 6 7 ，n=1 3 7 •4n-2，n≥2

，假設存在任意三項a_m，a_k，a_p成等差數列．由此入手能夠導出數列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數列．

解答：解：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴an+2=

1+λ

λ

an+1，
故數列{a_n}從第二項開始為等比數列…（3分）
將n=1代入①式，1+a1-λa2=0，a2=

1+a1

λ

=

1

7λ

∴n≥2時，an=

1

7λ

(

1+λ

λ

)n-2
∴數列{a_n}的通項an=

- 6 7 ，n=1 1 7λ ( 1+λ λ )n-2，n≥2

…（6分）
（2）∵λ=

1

3

，
∴an=

- 6 7 ，n=1 3 7 •4n-2，n≥2

∵假設存在任意三項a_m，a_k，a_p成等差數列
①不妨設當m＞k＞p≥2，
∵當n≥2時，數列{a_n}單調遞增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴2•(

3

7

)•4k-2= 

3

7

•4m-2+

3

7

•4p-2，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左邊=偶數≠右邊=奇數，
∴當n≥2時，數列{a_n}不存在三項成等差數列．…（9分）
②假設存在成等差數列的三項中包含a₁時
不妨設m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵當n≥2時，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴2•(

3

7

)•4p-2=-

6

7

+(

3

7

)•4k-2，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴當且僅當k=3，p=2時成立，
∴數列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數列．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，探索數列{a_n}中是否存在三項成等差數列．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．