Question

已知定義在[1，+∞）上的函數f(x)=

8-16|x- 3 2 |，(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )，(x＞2)

，有下面五個命題：
①函數f（x）是周期函數；
②函數f（x）的值域為[0，8]；
③關于x的方程f（x）=(

1

2

)n-1（n∈N^*）有2n+5個不同的實根；
④當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*）時，f （x）的圖象與x軸圍成圖形的面積為4；
⑤存在實數x₀，使x₀f（x₀）＞12成立．
其中正確命題是

②⑤

．

Answer 1

分析：根據定義在[1，+∞）上的函數f(x)=

8-16|x- 3 2 |，(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )，(x＞2)

，畫出函數的圖象，即可得到結論．

解答：解：由題意，f（x）=

16x-16，1≤x≤1.5 -16x+32，1.5＜x≤2

，f（x）=

8x-16，2＜x≤3 -8x+32，3＜x≤4

，函數圖象如圖
∴①函數f（x）不是周期函數，故不正確；
②函數f（x）的值域為[0，8]，故正確；
③n=1時，f（x）=1，顯然結論不成立；
④n=1時，圖中的三角形的面積為4，n=2時，x∈[2，4]時，圖中的三角形的面積為8，故不正確；
⑤令f（x₀）=8，則x₀＞

3

2

，故結論正確
故正確命題為：②⑤

點評：本題考查分段函數，解題的關鍵是正確作出函數的圖象，屬于中檔題．