Question

設AB=6，在線段AB上任取兩點（端點A、B除外），將線段AB分成了三條線段，
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數，求這三條線段可以構成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實數，求這三條線段可以構成三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，若分成的三條線段的長度均為正整數，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構成三角形，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，設出變量，寫出全部結果所構成的區域，和滿足條件的事件對應的區域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．

解答：解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數，則三條線段的長度的所有可能為：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2，2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構成三角形
則構成三角形的概率p=

1

10

．
（2）由題意知本題是一個幾何概型
設其中兩條線段長度分別為x，y，
則第三條線段長度為6-x-y，
則全部結果所構成的區域為：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面區域為三角形OAB；
若三條線段x，y，6-x-y，能構成三角形，
則還要滿足

x+y＞6-x-y x+6-x-y＞y y+6-x-y＞x

，即為

x+y＞3 y＜3 x＜3

，
所表示的平面區域為三角形DEF，
由幾何概型知所求的概率為：P=

S△DEF

S△AOB

=

1

4

點評：本題考查古典概型，考查幾何概型，對于幾何概型的問題，一般要通過把試驗發生包含的事件同集合結合起來，根據集合對應的圖形做出面積，用面積的比值得到結果．