Question

（2013•成都一模）已知函數(shù)f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，

2

3

]；
②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③對(duì)任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

4

9

≤a≤

4

5

．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

①②④

．

Answer 1

分析：①由于f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，當(dāng)

1

2

＜x≤1時(shí)，f（x）=2[（x+2）+

4

x+2

]-8，利用雙鉤型函數(shù)h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上單調(diào)遞增，可求f（x）的值域?yàn)椋?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

1

5

，

2

3

]；當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，利用f（x）=-

1

2

x+

1

4

為減函數(shù)，可求f（x）的值域?yàn)閇0，

1

4

]，從而可判斷①的正誤；
對(duì)于②，可求g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判斷y=-cosx在[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，而a＞0，從而可判斷函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
對(duì)于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），從而可判斷③錯(cuò)誤；
對(duì)于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，從而可求得a的范圍，可判斷其正誤．

解答：解：∵

1

2

＜x≤1時(shí)，f（x）=

2x2

x+2

=

2[(x+2)-2]2

x+2

=2[（x+2）+

4

x+2

]-8
而

5

2

＜x+2≤3，令z=x+2，則z∈（

5

2

，3]，
雙鉤型函數(shù)h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上單調(diào)遞增，
∴h（

5

2

）=

41

5

-8=

1

5

，h（z）_max=h（3）=

2

3

，
∴當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

1

5

，

2

3

]；
當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f（x）=-

1

2

x+

1

4

為減函數(shù)，f（x）的值域?yàn)閇0，

1

4

]；
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，

2

3

]，故①正確；
對(duì)于②，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤

π

3

x≤

π

3

，
∵y=cosx在[0，

π

3

]上單調(diào)遞減，
∴y=-cosx在[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，又a＞0，
∴g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤

π

3

x≤

π

3

，

1

2

≤cos

π

3

x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos

π

3

x≤-

a

2

，
∴2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域?yàn)閇0，

2

3

]，顯然f（x）≠g（x），故③錯(cuò)誤；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，
解得

4

9

≤a≤

2

3

或

8

15

≤a≤

4

5

，由于

8

15

＜

2

3

，
∴[

4

9

，

2

3

]∪[

8

15

，

4

5

]=[

4

9

，

4

5

]．
故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及綜合應(yīng)用，屬于難題．