Question

如圖所示，已知P、Q是單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD中心
（1）求證：PQ∥平面BCC₁B₁
（2）求PQ與面A₁B₁BA所成的角．

Answer 1

分析：（1）連接AB₁，B₁C，由△AB₁C中，P、Q分別是AB₁、AC的中點知PQ∥B₁C，由此能夠證明PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）由PQ∥B₁C，知PQ與面A₁B₁BA所成的角即為B₁C與面A₁B₁BA所成的角，由正方體中BC與面A₁B₁BA垂直，知∠BB₁C即為B₁C與面A₁B₁BA所成的角，由此能求出PQ與面A₁B₁BA所成的角．

解答：（本小題滿分8分）
（1）證明：連接AB₁，B₁C，
∵△AB₁C中，P、Q分別是AB₁、AC的中點，∴PQ∥B₁C，…2分
又PQ在平面BCC₁B₁外面，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴PQ∥平面BCC₁B₁．…4分
（2）解：由（1）知PQ∥B₁C，
所以PQ與面A₁B₁BA所成的角即為B₁C與面A₁B₁BA所成的角，…6分
正方體中BC與面A₁B₁BA垂直，
所以∠BB₁C即為B₁C與面A₁B₁BA所成的角，…7分
∵∠BB₁C=

π

4

，所以PQ與面A₁B₁BA所成的角

π

4

．…8分

點評：本題考查直線與平面平等的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認真審題，恰當地進行等價轉化，能夠化空間問題為平面問題．