Question

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓Ｃ：的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為４的正三角形，所以可得到兩個(gè)關(guān)于的等式，從而求得相應(yīng)的值.
（2）因?yàn)檫^右焦點(diǎn)的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，若，所以點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo).所以通過假設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程即可得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的二次方程，在結(jié)合韋達(dá)定理即可求得k的值即可求得結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為．
由題意得,所以橢圓C的方程為.        4分
（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得(3＋4)y²＋12－36＝0.
設(shè)，焦點(diǎn)則根據(jù)，得(2－，－)＝2(－2，)，
由此得－＝2，
解方程得：,所以
代入－＝2，
得＝4，故＝，所以直線的方程為         12分