Question

.（本題滿分12分）已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經過坐標原點，并且兩條漸近線與以點為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個焦點與點A關于直線對稱. (1)求雙曲線C的漸近線和雙曲線的方程； (2)設直線與雙曲線C的左支交于P、Q兩點，另一直線經過及線段PQ的中點N，求直線在軸的截距的取值范圍.

Answer 1

(1)      (2)

解析:

(1) 設雙曲線的漸近線方程為，即，

∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑

∴     ∴雙曲線的漸近線的方程為： ，又設雙曲線的方程為：，則， ∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個焦點為∴，        

解之得：，故雙曲線的方程是： 

(2) 聯立方程組，消去得：

  ∵直線與雙曲線C的左支交于兩點，方程（*）兩根、為負數，

∴   

又∵線段PQ的中點坐標滿足，

， 

∴直線的方程為：，即是，，直線在軸的截距    

又∵時，的取值范圍是：

∴直線的截距的取值范圍是