Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，且公差d＞0，其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二項、第三項、第四項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}滿足c_n=c_n-1+b_n（n≥2），且c₁=2，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式將第二項，第五項，第十四項用{a_n}的首項與公差表示，再據此三項成等比數列，列出方程，求出公差，利用等差數列及等比數列的通項公式求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）由題意可得，c_n-c_n-1=b_n=3ⁿ，利用疊加法求解即可

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，q=

b3

b2

=

9

3

=3，
∴bn=b2•qn-2=3•3^n-2=3^n-1
（2）∵c_n=c_n-1+b_n（n≥2
∴c_n-c_n-1=b_n=3^n-1
∴c₂-c₁=3
c3-c2=32
…
c_n-c_n-1=3^n-1
以上式子相加可得，cn-c1=3+32 +…+3n-1=

3(1-3n-1)

1-3

∴cn=2+

3n-3

2

=

3n+1

2

點評：本題主要考查了利用基本量表示等差數列、等比數列的通項，疊加求解數列的通項．