Question

設命題p：函數f（x）=x²-2ax-1在區間[-1，1]內不單調；命題q：當x∈（0，+∞）時，不等式x²-ax+1＞0恒成立．如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．

解答：解：∵命題p：函數f（x）=x²-2ax-1在區間[-1，1]內不單調
∴當p為真，a的取值范圍：對稱軸x=a∈（-1，1）
∴-1＜a＜1
又∵命題q：當x∈（0，+∞）時，不等式x²-ax+1＞0恒成立．
∴當q為真，a＜

x2+1

x

=x+

1

x

，x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2
∵如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴∴p、q一真一假
①p真q假，那么a的取值范圍：φ
②p假q真，那么a的取值范圍：a≤-1或1≤a＜2
故a≤-1或1≤a＜2

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，屬于基礎題目