Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）判定AE與PD是否垂直，并說明理由．
（2）設AB=2，若H為PD上的動點，若△AHE面積的最小值為

6

2

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD是一條對角線AC等于邊長的菱形，從而△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內的射影，從而得到AE與PD垂直．
（2）先根據AE與PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，從而AE⊥平面AHE，然后求出AE=

3

，得到直角三角形AEH的面積為

1

2

AE•AH=

3

2

AH，AH最短時△AHE面積最�。�結合已知條件得到AH=

2

，最后轉到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱錐的體積公式得出四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
因為E是BC的中點，
∴AE⊥BC，結合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH為直角三角形，----------（7分）
Rt△EAH中，AE=

3

，
當AH最短時，即AH⊥PD時，△AHE面積的最小-----------（8分）
此時，S△EAH=

1

2

EA•AH=

6

2

⇒AH=

2

．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（10分）
VP-ABCD=

4 3

3

----------------------------------（12分）

點評：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質和棱柱、棱錐、棱臺的體積等幾個知識點，屬于中檔題．在題中出現了探究性問題，請同學們留意在解題過程中“空間問題平面化的思路”，是立體幾何常用的數學思想．