Question

1．橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$的左、右焦點分別為F₁，F₂，過焦點F₁的直線交該橢圓于A，B兩點，若△ABF₂的內切圓面積為π，A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|y₁-y₂|的值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知△ABF₂內切圓半徑r=1，從而求出△ABF₂面積，再由ABF₂面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$的左右焦點分別為F₁，F₂，a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
過焦點F₁的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
△ABF₂的內切圓的面積為π，
∴△ABF₂內切圓半徑r=1．
△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=4$\sqrt{3}$，
∴ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題給出橢圓經過左焦點F₁的弦AB，在已知△ABF₂的內切圓的面積情況下，求A、B兩點的縱坐標之差．著重考查了橢圓的定義、三角形內切圓的性質和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．