Question

（2012•朝陽區一模）已知函數f(x)=cos(x-

π

4

)．
（Ⅰ）若f(α)=

3

5

，其中

π

4

＜α＜

3π

4

，求sin(α-

π

4

)的值；
（II）設g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)，求函數g（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的基本關系以及角的范圍求出sin(α-

π

4

)的值．
（II）利用三角函數的恒等變換化簡函數g（x）的解析式為

1

2

cos2x，由x∈[-

π

6

，

π

3

]求出

1

2

cos2x的最值．

解答：解：（Ⅰ）因為f(α)=cos(α-

π

4

)=

3

5

，且0＜α-

π

4

＜

π

2

，…（1分）
所以sin(α-

π

4

)=

4

5

..…（5分）．
（II）g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)=cos(

π

4

-x)•cos(x+

π

4

)=sin(

π

4

+x)•cos(x+

π

4

)
=

1

2

sin(

π

2

+2x)=

1

2

cos2x..…．…..（10分）
當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
則當x=0時，g（x）的最大值為

1

2

；當x=

π

3

時，g（x）的最小值為-

1

4

．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的基本關系，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．