Question

已知函數為奇函數.

（1）若，求函數的解析式；

（2）當時，不等式在上恒成立，求實數的最小值；

（3）當時，求證：函數在上至多有一個零點.

 

Answer 1

（1）；（2） （3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由函數為奇函數,得恒成立,可求的值；

由，從而可得函數的解析式；

（2）當時，可判斷其在區間上為單調函數，最大值為，要使不等式在上恒成立，只要不小于函數在區間區間上的最大值即可；

（3）當時，，要證在上至多有一個零點，

只要證在上是單調函數即可,對此可用函數單調性的定義來解決.

試題解析：解:（1）∵函數為奇函數，

∴，即，

∴， 2分

又，

∴

∴函數的解析式為. 4分

（2），.

∵函數在均單調遞增，

∴函數在單調遞增， 6分

∴當時，． 7分

∵不等式在上恒成立，

∴，

∴實數的最小值為． 9分

（3）證明：，

設，

11分

∵，

∴

∵，即，

∴，又，

∴，即

∴函數在單調遞減， 13分

又，結合函數圖像知函數在上至多有一個零點. 14分

考點：1、函數的奇偶性；2、函數的單調性；3、函數的最值.