Question

某生產企業于年初用98萬元購進一套先進的生產線，并投入營運，第一年固定投入12萬元，從第二年開始，包括維修保養在內，每年投入均比上一年增加4萬元，該生產線投入運營后每年的收入為50萬元，設投入生產x（x∈N^*）年后，該生產線的盈利總額為y萬元．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數關系式；
（Ⅱ）該生產線幾年后取得利潤額的最大值？并求出該最大值？
（Ⅲ）若該企業計劃在年平均利潤取得最大值時淘汰該生產線，應在幾年后淘汰？

Answer 1

分析：（I）利用等差數列的前n項和公式以及純利潤=收入-投入成本；
（II）利用二次函數的單調性即可得出；
（III）利用基本不等式即可得出．

解答：解：（I）由題意，每年的投入是以12為首項，4為公差的等差數列，
∴y=50x-

x(12+4x+8)

2

-98
=-2x²+40x-98（x∈N^*），
（II）y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102，
當x=10時，y_max=102．
∴該生產線10年后取得利潤的最大值102萬．
（Ⅲ）

y

x

=

-2x2+40x-98

x

=-2x-

98

x

+40=-2(x+

49

x

)+40≤-2×14+40=12，
當且僅當x=

49

x

時，即x=7時等號成立，
所以按照計劃，該生產線應該在7年后淘汰．

點評：熟練掌握等差數列的前n項和公式、二次函數的單調性、基本不等式、純利潤=收入-投入成本等是解題的關鍵．