Question

已知：F₁，F₂為的左右焦點，點A為橢圓的右頂點，直線y=x與橢圓交于B、C兩點（C在第一象限），，．
（1）求此橢圓的方程．
（2）若P、Q是橢圓上的兩點，并且滿足，求證：向量與共線．

Answer 1

（1）解：設|AC|=m，|BC|=2m
∵，，
∴m²+4m²=10
∴
∵△COA是等腰直角三角形
∴a²=4，C（1，1）
代入，可得
∴橢圓的方程為
（2）證明：設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
由得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∴，
∴，
同理，
∴
而，所以PQ與AB平行，所以與共線．
分析：（1）設|AC|=m，|BC|=2m，根據，，計算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a²=4，C（1，1）代入，可得，從而可求橢圓的方程；
（2）設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，由得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，從而可求PQ的斜率，利用，所以PQ與AB平行，所以與共線．
點評：本題以向量為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．