Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段|MN|=

32

5

，且△MF₂N的周長為20，則橢圓的離心率e等于

3

5

．

Answer 1

分析：橢圓的離心率e=

c

a

，根據(jù)題目條件，MN的長度為橢圓通徑的長，△MF₂N的周長為4a，列方程即可解得a、c的值，進(jìn)而求得離心率．

解答：解：解：∵△MF₂N的周長=MF₁+MF₂+NF₁+NF₂=2a+2a=4a=20，∴a=5，
又由橢圓的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的最短弦為通徑長

2b2

a

，
∴MN=

2b2

a

=

32

5

，
∴b²=16，c²=a²-b²=9，
∴c=3
∴e=

c

a

=

3

5

，
故答案為：

3

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，此類型題目要求我們應(yīng)掌握橢圓中特殊的線段的長度，如通徑等．