Question

已知橢圓的中心在原點，一個長軸的端點為P（0，-2），離心率為e=

3

2

，過點P作斜率為k₁，k₂的直線PA，PB，分別交橢圓于點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若k₁•k₂=2，證明直線AB過定點，并求出該定點．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b之值，即可得到橢圓的方程；
（2）由題意得直線PA方程為y=k₁x-2，與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，解出A點坐標含有k₁的式子，同理得到B點坐標含有k₂的式子，利用直線的兩點式方程列式并結(jié)合k₁k₂=2化簡整理，可證出AB方程當(dāng)x=0時y=-6，由此可得直線AB必過定點Q（0，-6）．

解答：解：（1）∵橢圓的中心在原點，一個長軸的端點為P（0，-2），
∴設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得a=2，且e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，解之得b=1，
∴橢圓的方程為：

y2

4

+x2=1；
（2）由題意，可得直線PA方程為y=k₁x-2，與橢圓方程消去y，
得（1+

1

4

k12）x²-k₁x=0，解之得x=0或x=

4k1

4+k12

由P的坐標為（0，-2），得A（

4k1

4+k12

，k₁•

4k1

4+k12

-2），即（

4k1

4+k12

，

2k12-8

4+k12

）
同理可行B的坐標為（

4k2

4+k22

，

2k22-8

4+k22

），
結(jié)合題意k₁•k₂=2，化簡得B（

2k1

1+k12

，

2(1-k12)

1+k12

）
因此，直線AB的方程為

y- 2k12-8 4+k12

2(1-k12)  1+k12 - 2k12-8 4+k12

=

x- 4k1  4+k12

2k1  1+k12 - 4k1  4+k12

，
化簡得y-

2k12-8

4+k12

=

2(k12+2)

k1

（x-

4k1

4+k12

），
令x=0得y=

2k12-8

4+k12

-

8k12+16

4+k12

=

-6k12-24

4+k12

=-6，由此可得直線AB過定點定點Q（0，-6）．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求它的方程并證明直線經(jīng)過定點．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的基本量與基本形式等知識，屬于中檔題．