Question

在△ABC中，AC=10，B=45°，cosC=

4

5

．
（1）求AB的長；
（2）若D是AB中點，求中線CD的長．

Answer 1

分析：（1）由cosC的值，以及C為三角形內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，再由sinB及AC的長，利用正弦定理即可求出AB的長；
（2）利用內角和定理及誘導公式得到sinA=sin（B+C），將B度數代入利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將sinC與cosC的值代入求出sinA的值，再由sinB與AC的長，利用正弦定理求出BC的長，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的長．

解答：解：（1）∵cosC=

4

5

，0＜C＜180°，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
由正弦定理得：

AB

sinC

=

AC

sinB

，即

AB

3 5

=

10

2 2

，
解得：AB=6

2

；
（2）∵A+B+C=180°，B=45°，cosC=

4

5

，sinC=

3

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sin（45°+C）=

2

2

（cosC+sinC）=

7 2

10

，
由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

BC

7 2 10

=

10

2 2

，
解得：BC=14，
則由余弦定理得：CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cosB=196+18-84=130，
解得CD=

130

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．