Question

已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

3

b=2a•sinB，且

AB

•

AC

＞0．
（1）求∠A的度數；
（2）若cos(A-C)+cosB=

3

2

，a=6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據

3

b=2a•sinB和正弦定理得到角A的正弦值，進而確定角A的值．
（2）運用三角形內角和等于180°，將角B轉化為另兩個角，然后代入cos(A-C)+cosB=

3

2

，再由運用兩角和與差的余弦公式展開可求得sinC的值，再由三角形的面積公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵3b=2

3

a•sinB，
∴由正弦定理知：3sinB=2

3

sinA•sinB，
∵B是三角形內角，
∴sinB＞0，從而有sinA=

3

2

，
∵

AB

•

AC

＞0，
∴∠A=60°
（Ⅱ）將B=π-（A+C）代入cos(A-C)+cosB=

3

2

得：cos(A-C)-cos(A+C)=

3

2

，
利用兩角和與差的余弦公式展開得：sinAsinC=

3

4

；sinC=

1

2

．
相應的有：∠C=30°，
∴△ABC的面積為6

3

．

點評：本題主要考查正弦定理和兩角和與差的余弦公式的應用．主要考查三角公式的記憶．屬基礎題．