Question

在正三棱錐S-ABC中，D為AB中點，且SD與BC所成角為45°，則SD與底面所成角的正弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：先設出側棱長為l，正三棱錐的底邊長為a，利用異面直線所成角的概念及已知的所成角為45°建立l和a的方程，解出棱長l用a表示，在利用直線與平面所成角的概念可知SD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，然后在三角形SDO中求出此角的正弦值即可．

解答：解：由題意畫出圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐，
設側棱為l，底面邊長為a，因為D是AB的中點，且SD與BC成45°角，
如圖取AC的中點E，因為DE∥BC，所以∠SDE=45°，
在直角三角形SDE可以建立 l2-

a2

4

+l2-

a2

4

=

a2

4

⇒l=

3 8

a，
在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

l2- a2 4

 =

3 8 a2- a2 4

=

1 8

a，SO=

1 24

a，
所以SD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，
所以SD與底面ABC所成角的正弦值為sin ∠SDO=

SO

SD

=

3

3

，
故答案為：

3

3

點評：本題重點考查了異面直線所成角的概念，還考查了直線與平面所成的線面角的概念及解題過程中方程的解題思想，屬于中檔題，解題的關鍵就是尋找線面所成角．