Question

(本題滿(mǎn)分12分)

已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” （、、），

（I）證明：只要，無(wú)論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；

（II）在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記直線(xiàn)的斜率為，

（i）求證：；

（ii）對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有（i）同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分

Answer 1

解：（I）如果為增函數(shù),

則(1)恒成立, 

 當(dāng)時(shí)恒成立, (2) 由二次函數(shù)的性質(zhì), (2)不可能恒成立.

則函數(shù)不可能總為增函數(shù).   --------3分

（II）（i） =.     

       由,  則--------5分

（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”:

 =,       (3)            --------7分

由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則 , (4)

 比較(3)( 4)兩式得，

即：，(4)                  --------10分

不妨令，    (5)

設(shè)，則，

∴在上遞增，  ∴.

  ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          

  ∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì). -------12分