Question

本小題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
設函數是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）（文）當時，試判斷函數單調性并求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
（理）若f(1)<0，試判斷函數單調性并求使不等式恒成立的的取值范圍；
（3）若f(1)＝，且g(x)＝a ^2x＋a ^{- 2x}－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值為－2，求m的值．

Answer 1

解(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數，
∴f(0)＝0，                         …………………… 2分
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，           …………………… 4分
（2）（文）

，單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減。
…………………… 6分
原不等式化為：f(x²＋2x)>f(4－x)
∴x²＋2x<4－x，即x²＋3x－4<0        …………………… 8分
∴，
∴不等式的解集為{x|}．  …………………………10分
（2）（理）

………………6分
單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減。                                   ………………7分
不等式化為
恒成立，…………… 8分
，解得。…………………… 10分
(3)∵f(1)＝，，即
……………………………………12分
∴g(x)＝2^2x＋2^－2x－2m(2^x－2^－x)＝(2^x－2^－x)²－2m(2^x－2^－x)＋2.
令t＝f(x)＝2^x－2^－x，
由(1)可知f(x)＝2^x－2^－x為增函數
∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t²－2mt＋2＝(t－m)²＋2－m²　(t≥)………………15分
若m≥，當t＝m時，h(t)_min＝2－m²＝－2，∴m＝2………… 16分
若m<，當t＝時，h(t)_min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去……17分
綜上可知m＝2.                ………………………………18分

略