Question

如圖，某旅游區擬在公路（南北向）旁開發一個拋物線形的人工湖，湖沿岸上每一點到公路的距離與到處的距離相等，并在湖中建造一個三角形的游樂區，三個頂點都在湖沿岸上，直線通道經過處.經測算，在公路正東方向米處，在的正西方向米處，現以點為坐標原點，以線段所在直線為軸建立平面直角坐標系，

（1）求拋物線的方程

（2）試確定直線通道的位置，使得三角形游樂區的面積最小，并求出最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當時，即時，取得最小值

【解析】(1)因為拋物線的開口向右，所以可設其方程為,

再根據焦點坐標，可確定拋物線方程.

(2)設直線MN的方程為,它與拋物線方程聯立，消x后得到關于y的一元二次方程，利用弦長公式求出高的值，然后再求出|AC|的值，進而求出.

（1）依題意，設所求的拋物線方程為：………1分

  拋物線的焦點，，故所求的方程為：…4分

（2）設點，，直線的方程為：

聯立消去，得; …6分

,…7分

…9分

…11分

當時，即時，取得最小值