Question

求證：對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列b₁，b₂，……b_n，其中任意三項(按原來順序)都不能組成等比數列．

Answer 1

答案：
解析：

　　本小題考查等差數列、等比數列的綜合應用．

　　假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，其中()為任意三項成等比數列，則，即，化簡得(*)

　　由知，與同時為0或同時不為0

　　當與同時為0時，有與題設矛盾．

　　故與同時不為0，所以由(*)得

　　因為，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數．

　　于是，對于任意的正整數，只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列．

　　例如n項數列1，，，……，滿足要求．