Question

設f（x）是定義在R上的函數，且對任意實數x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

解：（1）令t=1-x，則x=1-t
∵f（1-x）=x²-3x+3．
∴f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3=t²+t+1．
即f（x）=x²+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x²-2mx+2=（x-m）²+2-m²，x∈
若m≥，則當x=m時，g（x）取最小值2-m²=-2，
解得m=2，或m=-2（舍去）
若m＜，則當x=時，g（x）取最小值-3m=-2，
解得m=（舍去）
綜上可得：m=2
分析：（1）令t=1-x，則x=1-t，利用換元法，根據f（1-x）=x²-3x+3．可得函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）中函數f（x）的解析式，求出函數g（x）的解析式，進而根據二次函數的圖象和性質，進行分類討論，可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的最值及其幾何意義，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．