Question

已知函數f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函數f）x）的單調區間和極值；
（2）已知函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

（1）解：求導函數，f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函數在（-∞，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數
∴函數在x=1時取得極大值f（1）=；
（2）證明：由題意，g（x）=f（2-x）=（2-x）e^x-2，
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2，
∴F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，
當x＞1時，2x-2＞0，∴e^2x-2-1＞0，∵e^-x，＞0，∴F′（x）＞0，
∴函數F（x）在[1，+∞）上是增函數
∵F（1）=0，∴x＞1時，F（x）＞F（1）=0
∴當x＞1時，f（x）＞g（x）．
分析：（1）求導函數，由導數的正負，可得函數的單調區間，從而可求函數的極值；
（2）構造函數F（x）=f（x）-g（x），證明函數F（x）在[1，+∞）上是增函數，即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查不等式的證明，構造函數，確定函數的單調性是關鍵．