Question

（2013•大興區一模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若AB=BB₁=2，求A₁D與平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接A₁C交AC₁于E，利用直三棱柱的性質、矩形的性質、三角形中位線的性質定理即可得到ED∥A₁B，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）建立如圖所示空間坐標系D-xyz．利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出線面角．

解答：證明：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴四邊形A₁ACC₁是矩形．
連接A₁C交AC₁于E，則E是A₁C的中點，
又D是BC的中點，在△A₁BC中，ED∥A₁B．
∵A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．
（II）∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC．
以D為原點，建立如圖所示空間坐標系D-xyz．
由已知AB=BB₁=2，得：D（0，0，0），A(

3

，0，0)，A1(

3

，0，2)，C₁（0，-1，2）．
則

DA

=(

3

，0，0)，

DC1

=(0，-1，2)，
設平面ADC₁的法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • DA =0 n • DC1 =0

，得到

3 x=0 -y+2z=0

，令z=1，則x=0，y=2，
∴

n

=(0，2，1)．
又

DA1

=(

3

，0，2)，得

n

•

DA1

=0×

3

+2×0+1×2=2．
∴cos＜

DA1

，

n

＞=

2

5 × 7

=

2 35

35

設A₁D與平面ADC₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DA1

，

n

＞|=

2 35

35

．
所以A₁D與平面ADC₁所成角的正弦值為

2 35

35

．

點評：熟練掌握直三棱柱的性質、矩形的性質、三角形中位線的性質定理、線面平行的判定定理、建立空間坐標系利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角得出線面角的方法等是解題的關鍵..