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已知數列{an},a1=1,且滿足關系an-an-1=2(n≥2),
(1)寫出a2,a3,a4,的值,并猜想{an}的一個通項公式.
(2)利用數學歸納法證明你的結論.
(1)∵a1=1,an-an-1=2(n≥2),
∴a2=2+a1=3,同理可求得a3=5,a4=7,故可猜想得到an=2n-1.        …(4分)
(2)證明:①當n=1時,結論顯然成立;          …(6分)
②設當n=k(k≥2)時,結論成立,即ak=2k-1,
則當n=k+1時,ak+1-ak=2,…(8分)
所以ak+1=ak+2=2k-1+2=2(k+1)-1,也滿足公式.  …(10分)
綜①②知,命題an=2n-1對任意的正整數n恒成立.  …(12分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)

(I)求數列{an}的通項公式;
(II)求數列{an}的前n項和Sn

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求證:數列{
1
an
}為等差數列,并求{an}的通項公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N+,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求{an}的通項公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足a n+an+1=
1
2
(n∈N+)
,a 1=-
1
2
,Sn是數列{an}的前n項和,則S2013=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}:,,,…,,…,其中a是大于零的常數,記{an}的前n項和為Sn,計算S1,S2,S3的值,由此推出計算Sn的公式,并用數學歸納法加以證明.

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同步練習冊答案
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