Question

已知函數f（x）=x³-3x+1
（I）求函數y=f（x） 的圖象在點（2，f（2））處的切線方程．
（II）求函數f（x） 在區間[-3，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求導函數，求出切線的斜率，切點的坐標，即可得到切線方程；
（II）利用導數的正負，確定函數的單調性，確定函數的極大值，與端點函數值比較，即可得到結論．

解答：解：（I）求導函數，可得f′（x）=3x²-3
∴f′（2）=9
∵f（2）=3
∴y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=9（x-2），即9x-y-15=0；
（II）令f′（x）=3x²-3＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）=3x²-3＜0，可得-1＜x＜1，
∵x∈[-3，2]，
∴函數在（-3，-1），（1，+∞）上單調遞增，在（-1，2）上單調遞減，
∴x=-1時，函數取得極大值，x=1時，函數取得極小值
∵f（-3）=-17，f（-1）=3，f（2）=3
∴函數f（x）在區間[-3，2]上的最大值為3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．