Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（x∈R），且滿足f'（x）+f（x）＞0．對任意正實數(shù)a，下面不等式恒成立的是（　　）

• A．f（a）＞e^af（0）
• B．f（a）＜e^af（0）
• C．f(a)＜

  f(0)

  ea

• D．f(a)＞

  f(0)

  ea

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x×f（x），根據(jù)題設(shè)條件，可得此函數(shù)是一個增函數(shù)，從而得F（a）＞F（0），于是可得答案．

解答：解：令F（x）=e^x×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（e^x）′×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=e^x×f（x）為增函數(shù)，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即e^af（a）＞e⁰f（0）=f（0），
∴f（a）＞

f(0)

ea

．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x×f（x）并研究其單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點，著重考查觀察與分析問題的能力，屬于好題，難題．