Question

已知函數f(x)=

ex

x-a

（a＜0）
（1）求函數f（x）的定義域及單調區間；
（2）若實數x∈（a，0]時，不等式f(x)≥

1

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的分母不為0，可求函數的定義域；求導函數，令其大于0（小于0），結合函數的定義域，可求函數的單調區間；
（2）由題意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

時，實數x∈（a，0]時，使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立，故問題轉化為求函數f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠a}….1分f′(x)=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．….3分
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的單調遞增區間為（a+1，+∞），單調遞減區間為（-∞，a），（a，a+1）．….6分
（2）由題意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

時，實數x∈（a，0]時，
使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立．
①若a+1＜0即a＜-1時，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值為f（a+1）=e^a+1．則ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

-1….9分
②若a+1≥0即a≥-1時，f（x）在（a，0]上單調遞減，則f（x）在（a，0]上的最小值為f(0)=-

1

a

．
由-

1

a

≥

1

2

得a≥-2．                                              …10分
綜上所述，0＞a≥ln

1

2

-1….12分．

點評：本題主要考查利用導數求函數的單調區間，求函數的最值，考查等價轉化能力，屬于中檔題．