Question

在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,設(shè)M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn),求證:

(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

證明:(1)分別連結(jié)B₁D₁、ED、FB,由正方體性質(zhì)知B₁D₁∥BD,

∵E、F分別是D₁C₁和B₁C₁的中點(diǎn),

∴EFB₁D₁,∴EFBD.

∴E、F、B、D共面.

(2)連結(jié)A₁C₁交MN于點(diǎn)P,交EF于點(diǎn)Q,

連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,分別連結(jié)PA、QO.

∵M(jìn)、N為A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn),∴MN∥EF,EF面EFDB.

∴MN∥面EFDB.∵PQAO,

∴四邊形PAOQ為平行四邊形.∴PA∥QO.而QO平面EFBD,∴PA∥平面EFBD且PA∩MN=P,PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.