Question

（2012•朝陽區二模）在平面直角坐標系xOy中，點E到兩點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之和為2

2

，設點E的軌跡為曲線C．
（1）寫出C的方程；
（2）設過點F₂（1，0）的斜率為k（k≠0）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，點E的軌跡C是以兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點，長半軸長為2

2

的橢圓，由此可得曲線C的方程；
（2）先寫出直線MN的方程為y=k（x-1），聯立直線與橢圓方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點E（x₀，y₀），根據方程的根與系數的關系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），然后由PM=PN且P在y軸上，設p （0，b），利用兩點間的距離公式可求b與k的關系，然后結合△＞0可求b的范圍

解答：解：（1）由橢圓的定義可知，點E的軌跡是以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點，以2

2

為長軸的橢圓
∵c=1，a=

2

∴b=1
∴C的方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意可得，直線MN的方程為y=k（x-1）
聯立方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點E（x₀，y₀）
則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

且△=16k⁴-8（1+2k²）（k²-1）＞0
即1+k²＞0
∵PM=PN且P在y軸上，設p （0，b）
∴x12+(y1-b)2=x22+(y2-b)2
整理可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₂-y₁）（y₂+y₁-2b）
∴x₁+x₂=k（y₁+y₂-2b）
代人可得，

4k2

1+2k2

=k(

-2k

1+k2

-2b)
∴b=-

k

1+2k2

∴2bk²+k+b=0
∴△=1-8b²＞0
∴-

2

4

＜b＜

2

4

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．