Question

（2011•浦東新區三模）已知虛數z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，
（1）若|z1-z2|=

2

5

5

，求cos（α-β）的值；
（2）若z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個根，求實數c的值．

Answer 1

分析：（1）利用復數z=a+bi的模|z|=

a2+b2

代入|z1-z2|=

2

5

5

再結合兩角差的余弦公式即可求解．
（2）由于z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個復數根故z1=

.

z2

則可得cosα=cosβ，sinα=-sinβ再根據根與系數的關系可求出c．

解答：解（1）∵z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），…（2分）
∵|z1-z2|=

2

5

5

，∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，…（5分）
∴cos（α-β）=

2- 4 5

2

=

3

5

．…（6分）
（2）由題意可知cosα=cosβ，sinα=-sinβ   …（8分）
且z1•z2=

c

3

=cos2α+sin2α=1…（10分）
∴c=3，經檢驗滿足題意．    …（12分）

點評：本題主要考查了復數模的概念和復數的相等．解題的關鍵是第一問要利用模的概念根據條件|z1-z2|=

2

5

5

得出α，β的關系式再結合兩角差的余弦公式求解而第二問要明白一元二次方程的復數根是成對出現的并且是共軛復數！